2|(a+b) Äquivalenzrelation? < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 14.06.2014 | | Autor: | MietzeK |
| Aufgabe | | Es sei R=[(a,b):2|(a+b))] [mm] \subseteq \IZ \subseteq. [/mm] Zeigen Sie das R eine Äquivalenzrealtion der ganzen Zahlen ist. |
Hallo!
Ich komme leider nicht weiter:
Eine Äquivalenzrelation, ist ja eine Relation, die reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
Symmetrisch:
Wenn (a,b) [mm] \in [/mm] R, dann ist auch (b,a) [mm] \in [/mm] R:
d.h, wenn 2|(a+b) dann auch 2|(b+a) ->w.A wegen der Kommutativität der Addition
Transitiv:
Wenn [mm] (a,b)\in [/mm] R und [mm] (b,c)\in [/mm] R, dann ist auch [mm] (a,c)\in [/mm] R
Ich weiß hier nicht genau wie ich es zeigen soll:
2|(a+b) und 2|(b+c) dann auch 2|(a+c)
meine Idee:
entweder ist a gerade, dann ist auch b gerade und dann muss auch c gerade sein
wenn a ungerade ist, dann ist auch b ungerade (weil zwei ungerade Zahlen ja wieder eine gerade ergeben) und dann muss auch c ungerade sein und dann stimmt es auch mit 2 teilt (a+c)
Gibt es da auch eine elegantere Möglichkeit um das zu zeigen?
reflexiv:
Für alle [mm] a\in [/mm] A gilt [mm] (a,a)\in [/mm] R
Hier bin ich mir sehr unsicher:
Heißt das 2 teilt (a+a) ?
Wenn ja, wäre meine Lösung:
2| (a+a) d.h. [mm] \exists x\in [/mm] A : x * 2=a+a :2
x= 2:(a+a)
also ist a+a gerade
s ist ja eigentlich auch klar, weil ich entweder zwei gerade Zahlen addiere und da eine gerade rausgkommt oder zwei ungerade Zahlen und da eine ungerade rauskommt....Ich weiß nur nicht recht, wie ich es mathematisch zeigen kann :/
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Hallo,
> Es sei R=[(a,b):2|(a+b))] [mm]\subseteq \IZ \subseteq.[/mm] Zeigen
> Sie das R eine Äquivalenzrealtion der ganzen Zahlen ist.
> Hallo!
> Ich komme leider nicht weiter:
> Eine Äquivalenzrelation, ist ja eine Relation, die
> reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
> Symmetrisch:
> Wenn (a,b) [mm]\in[/mm] R, dann ist auch (b,a) [mm]\in[/mm] R:
> d.h, wenn 2|(a+b) dann auch 2|(b+a) ->w.A wegen der
> Kommutativität der Addition
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Transitiv:
> Wenn [mm](a,b)\in[/mm] R und [mm](b,c)\in[/mm] R, dann ist auch [mm](a,c)\in[/mm] R
> Ich weiß hier nicht genau wie ich es zeigen soll:
> 2|(a+b) und 2|(b+c) dann auch 2|(a+c)
> meine Idee:
> entweder ist a gerade, dann ist auch b gerade und dann
> muss auch c gerade sein
> wenn a ungerade ist, dann ist auch b ungerade (weil zwei
> ungerade Zahlen ja wieder eine gerade ergeben) und dann
> muss auch c ungerade sein und dann stimmt es auch mit 2
> teilt (a+c)
> Gibt es da auch eine elegantere Möglichkeit um das zu
> zeigen?
Deine Argumentation ist schon richtig. Man könnte bspw. auch die Summe (a+b)+(b+c)=(a+c)+2b betrachten und argumentieren, dass sowohl Summe als auch Differenz zweier gerader Zahlen wieder gerade sind.
>
> reflexiv:
> Für alle [mm]a\in[/mm] A gilt [mm](a,a)\in[/mm] R
> Hier bin ich mir sehr unsicher:
> Heißt das 2 teilt (a+a) ?
> Wenn ja, wäre meine Lösung:
> 2| (a+a) d.h. [mm]\exists x\in[/mm] A : x * 2=a+a :2
> x= 2:(a+a)
> also ist a+a gerade
> s ist ja eigentlich auch klar, weil ich entweder zwei
> gerade Zahlen addiere und da eine gerade rausgkommt oder
> zwei ungerade Zahlen und da eine ungerade rauskommt....Ich
Hier ist alles viel einfacher, denn es gilt selbstredend
2|(a+a)=2a
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 14.06.2014 | | Autor: | MietzeK |
Vielen Dank!
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